Вероятностные модели в динамике финансирования городских проектов

Рассмотрим задачу анализа распределения расходов на проект в течение N лет. Введем обозначения: T_n — объем финансирования проекта в n-м году, n = 1, 2, …, N.

Мы будем считать, что n = 1 соответствует Y — N календарному году, если Y — это последний календарный год в нашем исследовании.

Если среди рассматриваемой последовательности объемов финансирования присутствуют данные за прошлые года, то эти значения являются фактическими значениями объемов финансирования, а значения последовательности, относящиеся к будущим годам, являются планируемыми.

Поскольку в современных условиях все значимые расходы на регулярные проекты подвержены тщательному планированию [2], то можно без ограничения общности считать, что в начальный момент n = 0 все значения последовательности T_n являются планируемыми, а по окончании года N все значения T_n являются фактическими расходами.

Как будет показано в следующем разделе, последовательность Tn можно рассматривать как случайный процесс, имея в виду, что планируемые значения задают распределение вероятности для траекторий случайного процесса, а наблюдаемые значения последовательности T_n — это реализованные объемы финансирования проекта.

Основной задачей, решаемой в настоящей работе, является выявление закономерностей в соотношении между планируемым и фактическим объемами финансирования проектов.

Субмартингальная модель случайного процесса

Рассмотрим величины Tn как реализации некоторого дискретного случайного процесса, который мы также будем обозначать через T_n. Для построения случайного процесса будем рассматривать фильтрованное вероятностное пространство , где Ω — это пространство элементарных исходов, A — сигма-алгебра событий, {A_n} — поток сигма-алгебр событий, доступных в момент n, который также называется фильтром сигма-алгебр событий [4]. Этот поток должен удовлетворять следующим условиям:

A_n ⊂ A_n + 1 ⊂ A.

Мы используем P в качестве вероятностной меры.

Рассматриваемый нами случайный процесс T_n должен быть согласован с фильтром событий. T_n измерима относительно сигма-алгебры A_n.

Кроме того, мы будем предполагать, что сигма-алгебра A_n порождается следующими случайными величинами:

A_n = σ (T₁, T₂, …, T_n).

Поскольку все величины T_n являются ограниченными:

0 ≤ T_n ≤ C,

где C — это некоторая константа, то и все наши случайные величины T_n будут иметь первые два момента: математическое ожидание E[T_n] и дисперсию D[T_n].

Сделаем важное предположение. Мы будем считать, что рассматриваемые нами проекты удовлетворяют свой­ству неубывания планируемых объемов финансирования. Для крупных городских проектов это условие является достаточно естественным. В наших обозначениях это означает следующее:

E[T_n + 1|A_n] ≥ T_n.

Здесь через E[T_n+1|A_n] обозначено условное математическое ожидание случайной величины T_n+1 относительно сигма-алгебры A_n. Это будет означать, что ожидаемое (планируемое) финансирование проекта в n + 1 году должно быть не меньше, чем объем финансирования в n-м году.

В результате мы приходим к выводу, что наш случайный процесс T_n является субмартингалом [4].

Разложение Дуба для представления субмартингала

В предыдущем разделе мы показали, что случайный процесс T_n является субмартингалом. Субмартингальное свой­ство позволяет применить к рассматриваемой последовательности объемов финансирования разложение Дуба.

Прежде чем сформулировать результат о разложении Дуба, напомним дефиниции понятий мартингала и предсказуемой последовательности. Для определенности мы будем рассматривать то же фильтрованное вероятностное пространство, что и для субмартингала T_n.

Случайная последовательность X_n называется мартингалом, если выполняются следующие

условия:

1. Случайная величина X_n является A_n-измеримой.

2. Существует конечное математическое ожидание E[X_n] < ∞.

3. Выполняется мартингальное равенство:

E[X_n+1|A_n] = X_n.

Последнее равенство утверждает, что наилучшее предсказание о значениях мартингала в будущем (при известных событиях к настоящему моменту) совпадает с текущим значением мартингала.

Само понятие мартингала возникло при анализе различных стратегий ставок в азартных играх. При этом получается, что если мы хотим предсказать будущее мартингала, то никакое знание событий до настоящего момента не оказывает влияния на будущие значения мартингала. В этом случае можно говорить, что мартингал является «чистой случайностью».

В противоположность мартингалу мы будем рассматривать предсказуемые случайные последовательности. Последовательность Yn называется предсказуемой последовательностью, если Y_nявляется A_n-1‑измеримой. Это означает, что если нам известны все события до настоящего момента n (включительно), то мы однозначно можем предсказать значение Y_n+1. Заметим, что, хотя предсказуемая последовательность Y_n и может быть предсказана на шаг вперед, она не является детерминированной, поскольку зависит от предыдущих событий.

Замечательным результатом для субмартингалов является разложение Дуба [5], которое в нашем случае утверждает, что субмартингал может быть представлен в виде суммы мартингала и предсказуемой последовательности. В наших обозначениях это можно представить следующей формулой:

T_n = M_n + K_n,

где M_n является мартингалом, а K_n является предсказуемой последовательностью. Здесь мы предполагаем, что T₀ = 0, M₀ = 0 и K₀ = 0.

При этом последовательность K_n удовлетворяет условию:

K_n ≤ K_n+1,

т. е. предсказуемая последовательность является неубывающей.

При этом представленное разложение является единственным.

В разложении Дуба предсказуемую последовательность K_n часто называют компенсатором.

Для нас принципиальным является то, что вид компенсатора (предсказуемой последовательности) может быть восстановлен с использованием условного математического ожидания. Последовательность K_n имеет следующий вид:

K_n = (E[T₁|A₀] — T₀) + (E[T₂|A₁] — T₁) + (E[T_n|A_n-1] — T_n-1).

При этом мы можем получить и выражение для мартингала по следующей формуле:

M_n = T_n — K_n.

Эти явные формулы позволят найти финансовую интерпретацию субмартинагального разложения.

Финансовая интерпретация субмартингального разложения

Несмотря на кажущуюся сложность формулы для компенсатора K_n, эта последовательность имеет достаточно простую и понятную структуру. Количество слагаемых в K_n соответствует номеру шага в последовательности. При этом каждое слагаемое представляет собой разность между прогнозируемым значением объема финансирования на следующий год, рассчитанным на основе текущей информации, и фактическим уровнем финансирования на текущий момент.

Рассмотрим более подробно финансовую интерпретацию субмартингального разложения Дуба. Значения дискретного случайного процесса T_n будем интерпретировать как фактические затраты на реализацию городского проекта.

Сигма-алгебры A_n будем интерпретировать как все события, которые доступны в n-м году. При этом сигма-алгебра A_n содержит события, как произошедшие в n-м году, так и не произошедшие в этом году, но важно, что мы точно знаем, какие события из сигма-алгебры An произошли, а какие не произошли.

Условное математическое ожидание относительно сигма-алгебры E[T_n+1|A_n] мы будем интерпретировать как планируемый объем финансирования городского проекта n + 1 год в реалиях n-го года. Вообще говоря, условное математическое ожидание T_m относительно сигма-алгебры A_n, где m > n, интерпретируется как планирование объема финансирования городского проекта в m-м году в реалиях n-го года и обозначается следующим образом:

E[T_m|A_n] — планируемый объем финансирования проекта.

Как мы уже отмечали, планируемые объемы финансирования городских проектов на следующий год всегда выше, чем реальное финансирование в текущем году. Это условие гарантирует, что случайный процесс T_n является субмартингалом.

Хотя планируемые объемы финансирования городских проектов увеличиваются, реальные объемы финансирования отдельных проектов могут и не обладать этим свой­ством. Поэтому, вообще говоря, возможна ситуация, когда T_n+1 < T_n.

Схему планирования объемов финансирования городских проектов можно представить следующим образом.

1. Планирование объемов финансирования на N лет. Обозначим через P_n планируемый объем финансирования на n-й год. Эти величины можно интерпретировать как условные математические ожидания:

P_n = E[T_n|A₀].

2. После каждого года мы получаем реальный объем финансирования T_n.

3. Перед началом нового года уточняются объемы финансирования на следующий год с учетом реалий текущего года. Это означает, что величины P_n обновляются по следующей формуле:

P_n = E[T_n|A_n-1].

4. Величина, вычисляемая как разность между планируемым объемом финансирования на следующий год и объемом финансирования на текущий год:

k_n = E[T_n+1|A_n] — T_n,

является слагаемым для компенсатора K_n:

K_n = k₀ + k₁ + … + k_n-1.

Примечательно, что величины k_n не являются случайными на n-м году, поэтому последовательность K_n классифицируется как предсказуемая.

Разложение субмартингала Tn на слагаемые мартингал и компенсатор позволяет дать следующую интерпретацию: фактический объем финансирования городского проекта состоит из двух частей. Первая часть — это чисто случайная компонента (мартингал), которая не может быть предсказана. Вторая часть — это предсказуемая компонента (компенсатор), отражающая планируемый прирост объема финансирования городского проекта.

Модельный пример субмартингального разложения

Рассмотрим, как может быть организован процесс распределения финансовых ресурсов на городской проект с использованием субмартингального разложения.

В качестве примера возьмем финансирование городского проекта в течение 10 лет. Пусть изначальный план финансирования проекта состоит в следующих объемах (в условных единицах):

P_n = 100 + 2 × n.

График этого финансирования приведен на рисунке 1.

Рис. 1. Планируемый объем финансирования проекта на 10 лет

Реальное распределение финансирования проекта будет подвержено случайным событиям, которые мы будем моделировать с помощью независимых одинаково распределенных случайных величин. Будем рассматривать случайные величины:

ξ_n ~ U [–1, 1].

Реальное распределение финансирования с учетом случайных явлений будем моделировать с помощью следующего случайного процесса:

T_n = ∑ (P_k + ξ_k),

где суммирование ведется от 0 до n.

Проведем компьютерное моделирование этого процесса. Возможная траектория случайного процесса T_n представлена на рисунке 2.

Рис. 2. Смоделированные объемы финансирования

Рассчитаем условное математическое ожидание для величин T_n следующим образом:

E[T_n+1|A_n] = T_n + (100 + 2 × n) + E[ξ_n+1|A_n] = T_n + (100 + 2 × n) + E[ξ_n] = T_n + (100 + 2 × n).

Следовательно, мы имеем субмартингальное свой­ство:

E[T_n+1|A_n] > T_n.

Согласно разложению Дуба, случайный процесс распределения финансовых ресурсов на моделируемый проект может быть представлен в виде:

T_n = M_n + K_n,

где мартингал M_n определяется по формуле:

M_n = ξ₁ + ξ₂ + … + ξ_n,

а компенсатор K_n — по формуле:

K_n = 100 + 2 × n.

В данном примере у нас получилось, что исходное планирование совпадает с компенсатором, который отражает плановые показатели на следующий год. Это произошло потому, что случайное воздействие было равномерным с нулевым средним. Теперь изменим пример, чтобы случайная величина имела положительное среднее. В качестве такой случайной величины возьмем:

ξ_n ~ U[0, 1].

Тогда, повторяя вычисления, мы можем убедиться, что процесс T_n является субмартингалом:

E[T_n+1|A_n] = T_n + (100 + 2 × n) + E[ξ_n+1|A_n] =

= T_n + (100 + 2 × n) + E[ξ_n] = T_n + (100 + 2 × n) + 0,5.

Разложение Дуба для этого субмартингала будет выглядеть следующим образом:

T_n = M_n + K_n,

где мартингал M_n определяется по формуле:

TM_n = ξ₁ + ξ₂ + … + ξ_n,

а компенсатор K_n — по формуле:

K_n = 100 + 2 × n + n × 0,5.

Перейдем к результатам компьютерного моделирования. На рисунке 3 даны значения объемов финансирования проекта по годам. На рисунке 4 приведены значения мартингала из разложения Дуба. Значения компенсатора выглядят как прямая линия.

Рис. 3. Объемы финансирования городского проекта		Рис. 4. Значения мартингала из разложения Дуба

Примеры финансирования городских проектов в Москве

Рассмотрим пример применения нашего алгоритма к городским проектам, реализуемым в Москве. Важно отметить, что данный подход может быть использован не только для анализа отдельных проектов, но и для их групп в совокупности.

В качестве примера исследуем динамику финансирования программы развития образования Москвы («Столичное образование») с 2015 по 2025 г., используя данные портала «Открытый бюджет города Москвы» [2]. На рисунке 5 представлен график, отражающий объемы финансирования проектов в рамках программы «Столичное образование».

Рис. 5. Расходы на «Столичное образование»

Рассмотрим эти данные как значения субмартингала. Поскольку у нас отсутствует аналитическая формула для описания данных, воспользуемся методом выделения полиномиального тренда. Таким образом, мы разложим исходные данные на полиномиальный тренд и остатки. Такое разложение можно интерпретировать как разложение Дуба.

В нашем случае анализ показывает, что исходные данные содержат квадратичный тренд. На рисунке 6 представлены исходные данные и выделенный тренд, который мы интерпретируем как компенсатор в разложении Дуба.

Рис. 6. Фактические объемы финансирования и компенсатор

На рисунке 7 приведены значения остатков, которые мы интерпретируем как значения мартингала в разложении Дуба.

Рис. 7. Значения мартингала

Для того чтобы убедиться в том, что полученное разложение исходных данных на тренд и остатки можно интерпретировать как разложение Дуба для дискретного субмартингала, нужно проверить остатки на мартингальность. Для этого мы применили тест Льюнг — Бокса, который позволяет статистически проверить гипотезу об отсутствии автокорреляции в остатках [6]. В результате теста было получено p-value = 0,12, что превышает уровень значимости 0,05. Это позволяет сделать вывод об отсутствии статистически значимой автокорреляции в остатках, что подтверждает возможность интерпретации остатков как значений мартингала.

Заключение

В статье представлен новый алгоритм для анализа динамики финансирования городских проектов с использованием математического моделирования на основе субмартингального представления. Применяя разложение Дуба для дискретных субмартингалов, можно выделить структуру временнóго ряда, отражающего финансирование проекта по годам. Такое разложение позволяет глубже понять природу динамики финансирования проекта.

В работе продемонстрировано, что временной ряд финансирования проекта может быть представлен в виде суммы предсказуемой последовательности и мартингала, который интерпретируется как чистая случайная составляющая.

Разработан алгоритм для исследования динамики финансирования проекта, а также приведены модельные примеры, иллюстрирующие принцип его работы. Полученные теоретические результаты применены для анализа финансирования программы развития образования Москвы («Столичное образование») с 2015 по 2025 г.